Materi Teori Himpunan - Konsep Dasar Mtk 1

UNIT 1

TEORI HIMPUNAN

Kompetensi dan pengalaman Belajar

Menguasai subtansi dan metodologi dasar keilmuan Matematika yang mendukung pembelajaran Matematika SD/MI

I.  HIMPUNAN DAN BILANGAN CACAH

A. Pendahuluan

Dalam kehidupan banyak dijumpai sehari-hari sesuatu yang mempunyai konsep himpunan. Himpunan sangat bermanfaat untuk

1.  Memahami sifat-sifat bilangan cacah,

2.  Untuk mendefinisikan kejadian dalam teori peluang, dan

3.  Dalam dalam definisi-definisi geometri.

Himpunan sangat membantu untuk memahami banyak topik-topik matematika, yang menjadi lebih sukar kalau mempelajarinya menggunakan alat yang lain.

B. Pengertian Himpunan

Suatu himpunan atau suatu kumpulan benda-benda terjadi, bila kita mengelompokkan nbenda-benda itu menjadi himpunan atau suatu kumpulan. Mis. kita himpun buku-buku di dalam suatu perpustakaan, suatu tim olah raga, siswa-siswa dalam suatu kelas dsb. anak-anak mudah memahami hal ini. Biasanya kita memerlukan suatu definisi

   Biasanya kita memerlukan suatu definisi dari suatu pengertian agar kita dapat memastikan apa yang hendak kita maksud, namun pengalaman menunjukkan tidak semua pengertian dapat didefinisikan, sebab apabila didefinisikan mungkin pengertian yang mudah dipahami menjadi sangat panjang sehingga artinya menjadi kabur.

Walaupun himpunan tidak didefinisikan namun harus diketahui dengan jelas bahwa yang dibicarakan adalah kumpulan objek-objek atau simbol-simbol yang mempunyai sifat yang dapat menunjukkan apakah objek itu menjadi anggota atau bukan anggota dari himpunan tersebut.

Dari pengertian ini dapat diartikan bila ditetapkan suatu objek, maka dapat ditentukan keanggotaan objek tersebut dalam suatu himpunan yang dimaksud. Untuk menyatakan suatu himpunan, dapat dengan cara menyebutkan semua anggotanya. Cara ini disebut dengan tabulasi. Unsur-unsur himpunan tersebut dinyatakan di antara dua kurung kurawal dan untuk memisahkan anggota yang satu dengan yang lain digunakan tanda koma

 Contoh 1:

Himpunan enam bilangan cacah   yang pertama ditulis {1, 2, 3, 4, 5}

 Contoh 2:

Himpunan huruf hidup abjad Latin ditulis {a, i, u, e, o}

Suatu himpunan biasanya diberi nama dengan huruf besar misalnya: A, B, C, dan sebagainya

Himpunan semua bilangan ganjil diberi nama misalnya A = {1, 3, 5, 7, 9, . . .}

 tiga titik pada lambang ini digunakan untuk menunjukkan bahwa barisan bilangan tersebut berarti tak terhingga, dapat dibaca dan seterusnya. Tiga titik dipergunakan juga untuk menunjukkan himpunan yang anggotanya terlalu banyak untuk ditulis semuanya

Contoh 3:

 Himpunan bilangan prima kurang dari 100 ditulis {2, 3, 5, 7, . . . 97}

Contoh 4:

Himpunan bilangan genap kurang dari 1000 ditulis {0, 2, 4, 6, . . . 998}

Cara lain untuk menyatakan suatu himpunan ialah dengan menyebutkan syarat keanggotaannya, sedangkan anggotanya dinyatakan dengan suatu variabel.

Contoh 5:

Himpunan semua bilangan cacah genap ditulis {x/x bilangan cacah genap} atau {bilangan cacah genap}

Contoh 6:

Himpunan semua bilangan asli mulai dari 10 sampai dengan 20 ditulis {x/10 ≤ x ≤ 20, x bilangan asli} atau {bilangan asli 10 sampai dengan 20}

Suatu himpunan dimungkinkan tidak mempunyai anggota, mempunyai anggota terhingga atau tak terhingga. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota dilambangkan dengan {  } atau Ø

Contoh 7: 

Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2 adalah himpunan kosong

Contoh 8:

Himpunan orang yang tingginya lebih dari 100 m adalah himpunan kosong.

Untuk menyatakan keanggotaan dari suatu himpunan digunakan lambang ε

Misalnya a    { a , b , c } artinya a anggota himpunan {a , b , c ) lambang ε dapat dibaca elemen, anggota atau termasuk di dalam.

Sebaliknya untuk menyatakan bukan angota ditulis dengan lambang ε  Misalnya p bukan anggota dari {a, b, c} ditulis  p ε {a, b, c}

Untuk penulisan X E A berarti x anggota A, sedangkan X ε A dapat diartikan x bukan anggota A.

C.    Gambar Himpunan-Diagram Venn

Untuk menggambarkan himpunan kita dapat menggunakan diagram yang disebut dengan diagram Venn diambil dari nama John Venn ahli logika bangsa Inggris. Suatu himpunan digambarkan dengan daerah yang dibatasi kurva tertutup, sedangkan untuk himpunan semesta biasanya digambarkan dengan daerah persegi panjang.

Untuk menggambarkan anggota-anggota himpunan dapat digunakan nokhtah-nokhtah. Tetapi seandainya himpunan tersebut mempunyai anggota yang cukup banyak, anggota-anggota himpunan tersebut tidak usah digambarkan.

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat unsur yang dibicarakan)

Contoh 1:  S = { 1, 2, 3, . . . 8 }

                   A = { 1, 2, 3, 4 } 

Contoh 2 :  S =  { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

                  A =  { 1 , 2 , 3 , 4 }

                  B =   { 3 , 4 , 5 , 6 }

Contoh 3 :  S =  { bilangan bulat }

                  A =  { bilangan cacah }

                  B =   { bilangan prima }

D. Hubungan Antar-himpunan

1. Himpunan bagian (subset)

     Definisi: Himpunan A dikatakan himpunan bagian B dilambangkan dengan A C B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota B

Contoh 1:

Jika A { x,y } dan B { w,x,y,z }, karena setiap anggota A merupakan anggota B

Contoh 2:

 Jika P = { 4,7 } dan Q = { 4,7 } maka P C Q, karena setiap anggota P adalah anggota Q, dan juga Q C P, karena setiap anggota Q adalah anggota P

Contoh 3:

A = Himpunan bilangan asli dan C = Himpunan bilangan cacah, maka A C C karena setiap bilangan asli adalah bilangan cacah

Contoh 4:

D = { 1². 2², 3², 4² } dan E= { 1, 4, 9, 16 } maka DCE karena setiap anggota D adalah anggota E dan ECD karena setiap anggota E adalah anggota D

Contoh 5:

 H = { 1, 3, 5, 7 } dan I = { 3, 5, 7, 9 }

 H bukan himpunan bagian I karena ada anggota H yaitu 1 yang bukan anggota I

2. Himpunan Bagian Murni

    Definisi: Himpunan A dikatakan himpunan bagian murni B ditulis A C B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota B dan sedikitnya ada satu anggota B yang bukan anggota A

Contoh 1: Diberikan himpuna A= {m, n, o, p} dan B = {m, n, o, p, q}, maka A C B karena setiap anggota A adalah anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A yaitu q

Contoh 2:

P = {x,y,z} dan Q = {y,x,z} maka

 P C Q ( p bukan himpunan bagian murni Q) karena tidak ada anggota Q yang bukan anggota P

Contoh 3:

C= { 0, 2, 4, 6, . . .} dan D = { n/n bilangan cacah genap }, C bukan himpunan bagian murni D karena tidak ada anggota D yang bukan anggota C

Contoh 4:

P= himpunan segitiga, dan Q= himpunan segitiga siku-siku, maka Q C P, karena setiap segitiga siku-siku adalah suatu segitiga dan ada segitiga yang tidak siku-siku, misalnya segitiga lancip, tumpul.

3.  Himpunan Sama

 Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan sama ditulis A = B, jika dan hanya jika A C B dan B C A.

Contoh 1:

A= {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4} }Dari kedua himpunan ini jelas terlihat A C B dan B C A, sehingga dapat disimpulkan A = B

Contoh 2:

{ 1x1, 2x2, 3x3 } sama dengan { 1, 4, 9 }.

4.  Semesta Pembicaraan

Definisi: semesta pembicaraan atau Himpunan semesta adalah suatu himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan. Pada umumnya semesta pembicaraan dilambangkan dengan S atau U

Contoh:

Himpunan A= { 1, 3, 5, 7 }. Semesta pembicaraan yang mungkin untuk himpunan A adalah himpunan bilangan ganjil, himpunan bilangan cacah, himpunan bilangan asli dan sebagainya.

Himpunan ayam, semesta pembicaraan yang mungkin adalah himpunan binatang, himpunan makhluk hidup dan sebagainya.

5. Himpunan yang Ekuivalen

   Definisi: Jika A dan B himpunan yang terhingga maka himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B, bila setiap anggota A dapat dipasangkan, (dikorespondensikan) satup-satu dengan setiap anggota B. atau dua himpunan yang terhingga dikatakan ekuivalen jkika kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama banyak.

    A ekuivalen B ditulis A ~ B

Contoh 1:

A= {a, b, c} dan B = {p, q, r}

Karena dapat dikorespondensikan satu-satu sebagai berikut:

    A = { a,  b,  c }

    B = { p,  q,  r }

Maka dapat dikatakan A ~ B

Contoh 2:

P= {a, i, u, e, o},Q= {2, 4, 6, 8, 10}

Karena,

P = { a,  i, u,  e,  o }

Q = { 2, 4, 6, 8, 10 }

maka dapat dikatakan P ~ Q

6.  Himpunan-himpunan Terpisah

    Definisi: Himpunan A dikatakan terpisah dengan himpunan B, jika tidak ada anggota A yang menjadi anggota B dan tidak ada anggota B yang menjadi anggota A

Contoh 1:

A= {5, 6, 7} dan B= {1, 3}, maka A terpisah dengan B

Contoh 2:

 P= {tiga huruf pertama pada abjad}

 Q= {empat huruf terakhir pada abjad}

 P terpisah dengan Q

Untuk menunjukkan dua himpunan yang terpisah dapat dilihat pada diagram Venn berikut:

E.  Operasi Himpunan

1.Irisan dua Himpunan

     Definisi: Irisan himpunan A dan B (dilambangkan A ∩ B) adalah himpunan semua anggota yang menjadi anggota A dan juga menjadi anggota B

Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan

  A ∩ B = {x/x ε A dan x ε B}

  A ∩ B] dibaca A irisan B atau irisan himpunan A dan B

Contoh 1: Jika A= {1, 2, 3, 4, 5} dan B= {4, 5, 6, 7} maka A ∩ B = {4, 5}

Contoh 2: Jika P= {1, 2, 3, 4} dan Q= 2, 3, 4}

   maka P ∩ Q = {2, 3, 4}

Contoh 3:

Jika E= {1, 2, 3} dan F= a, b, c}, maka

  E ∩ F = {    }.

Diagram Venn contoh 1, 2, dan 3 adalah sebagai berikut:

Contoh 4: Jika A= {a, b, c, d, e}, B= {c, d, e, f} dan

                  C = {d, e, f, g}, maka A ∩ B = {c, d, e};

                 (A ∩ B) ∩ C = { d, e }

Contoh 5: Daerah yang diarsir pada diagram Venn

                  berikut manunjukkan A ∩ B, dengan relasinya

                  antara A dan B

Contoh 6: Jika S= {bilangan cacah}

                                    A= {kelipatan 2}

                                    B= {kelipatan 3}

                                    C= {kelipatan 5}

 Daerah yang diarsir pada diagram Venn berikut menunjukkan A ∩ B dan diagram Venn pada gambar berikut menunjukkan {A ∩ B} ∩ C

2.  Gabungan dua himpunan

   Definisi: gabungan dua himpunan A dan B (dilambangkan A U B) adalah himpunan semua elemen himpunan A atau B.  Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan ditulis A U B= {x/x ε A atau x ε B}  A U B dibaca A gabungan B atau gabungan A dan B

 Contoh: 1:

 Jika A= {a, b, c} dan B= {d, e}, maka

 A U B= { a, b, c, d, e}

Contoh 2: 

Jika E= {2, 4, 6, 8} dan F= { 2 }, maka

                 E U F = { 2, 4, 6, 8 }

Contoh 3: Jika G= { p, q, r } dan H= {q, r, s}, maka

                 G U H = { p, q, r, s }

Contoh 4: 

Daerah yang diarsir pada diagram Venn menunjukkan gabungan antara dua himpunan dengan berbagai relasi sebagai berikut:

Contoh 3: Jika P= {1, 2, 3, 4 }, Q= {4, 5, 6} dan

                  R= {6, 7}

                 PUQ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

                (PUQ)UR = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

 Gambar diagram Venn menunjukkan sebagai berikut

Jika banyaknya elemen himpunan A dinyatakan dengan n(A), banyaknya elemen himpunan B dinyatakan dengan n(B). Berapakah banyaknya elemen AUB yang ditulis dengan n (AUB) Untuk menjawab pertanyaan ini perhatikan diagram Venn berikut:

Pada diagram Venn ini dapat dilihat banyaknya elemen pada masing-masing daerah tertup yang dinyatakan dengan (a), (b), (c) jadi

n(AUB) = (a) + (b) + (c)

   n(A) = (a) + (b)

   n(B) = (b) + (c)

   n(A∩B) = (b)

Dapat disimpulkan banyaknya elemen himpunan A atau B adalah

  n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

Contoh 1: diketahui n(E) = 13

                 n(M) = 12

                 n(A∩B)  = 7

Penyelesaian: n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

                                    = 13 + 12 – 7

                                    = 18

Contoh 2:

Dalam suatu kelas terdapat 40 anak, 25 anak menyukai olah raga, 23 anak menyukai kesenian. Berapakah banyaknya anak yang menyukai keduanya?

Penyelesaian: n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

                            40 = 25 + 23 - n(A∩B)

                    n(A∩B) = -40 + 25+ 23 = 8

Banyaknya anak yang menyukai olahraga dankesenian 8 anak.

Contoh 3:

Di dalam ruangan terdapat 10 anak berbaju putih dan 12 anak bersepatu hitam. Jika banyaknya anak yang berbaju putih dan bersepatu hitam ada 5. berapakah banyaknya anak dalam ruangan:

Penyelesaian:

Jika A himpunan anak berbaju putih, B himpunan anak berbaju hitam, maka AUB himpunan anak dalam ruangan

    n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

              = 10 + 12 – 5

              = 17

3.  Komplemen suatu himpunan

Definisi: Komplemen himpunan A adalah himpunan elemen himpunan semesta yang bukan elemen A

Jika A adalah himpunan bagian S, maka himpunan A dapat ditulis dengan notasi

    Ā = {x/x ε S dan x εA}

Contoh 1: Jika S= {a, b, c, d} dan A= {b, c}, maka

                  Ā  = {a,d}

Contoh 2: Jika S= {bilangan asli}

                 dan B= {bilangan asli ganjil}

                 maka B = {bilangan asli genap}

Contoh 3: Jika S= {siswa kelas I}

                              dan P= {siswa kelas I yang berkaca mata}

                 maka P={siswa kelas I yang tidak berkaca mata}               

Pada diagram Venn daerah yang diarsir menunjukkan komplemen dari himpunan Q

4.   Selisih Dua Himpunan

           Definisi: Selisih himpunan B dari himpunan A (dilambangkan dengan B-A) adalah suatu himpunan yg elemennya merupakan elemen B yg bukan elemen A.

Jika ditulis dengan notasi pembentuk himpunan, maka B-A = {x/x ε B dan x ε A}

Contoh: Jika A = {x, y, z, w} dan B = {u, v, x, y}

               maka B-A = {u, v}

                          A-B = {z, w}

Contoh 2

Daerah yang yang diarsir pada diagram Venn berikut menunjukkan A-B dalam berbagai relasi antara A dan B

5. Perkalian silang dua Himpunan

Definisi

Perkalian silang dua himpunan A dan B adalah himpunan semua bilangan berurutan yang unsur pertamanya adalah anggota A dan unsur keduanya adalah anggota B. Dengan notasi himpunan ditulis

    A x B = {(a,b) / aєA dan bєB}

Contoh 1:

A = { 1, 2, 3 }.  B = { 1, 2 }, maka

A x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}

Contoh 2

P = { a, b, c } , Q = { 1, 2 }    R = { 3 }

P x Q == {(a,1), a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)

(PxQ)xR ={((a,1),3), (a,2),3), (b,1),3), (b,2),3), (c,1), 3), (c,2),3)}

Contoh 3:

Jika A= {bis, kereta api, pesawat} dan

        B = {bis, taxi}, maka himpunan pasangan berurutan yang menyatakan jenis kendaraan yang berbeda yang dapat dinaiki dari kota P ke kota R

UNIT 2

PENALARAN DALAM MATEMATIKA

I.  PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA

A.  Pendahuluan

Logika matematika merupakan terjemahan dari symbolic logic. Logika matematika dimasukkan ke dalam program matematika modern sekolah menengah, malahan untuk kelas-kelas terakhir dari SD pun mulai diberikan, meskipun secara sederhana. Sebabnya ialah karena dengan diberikannya program matematika modern di SD, konsep-konsep yang diberikan kepada siswa SD di kelas terakhir akan lebih abstrak dan oleh karenanya Logika matematika akan berfaedah dan penting bagi pola berfikir matematikia siswa.

Siswa akan bertanya-tanya, bagaimana kita dapat yakin bahwa pernyataan (kalimat) itu benar, pernyataan itu salah, dan sebagainya dan siswa makin lama akan memberikan alasan yang makin kritis terhadap problem pernyataan

B.  Pernyataan

Pernyataan (statemen) merupakan kalimat atau kalimat matematika tertutup yang benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Maksudnya ialah kalimat itu tidak boleh benar atau salah kedua-duanya. Pernyataan itu disebut juga proposisi.

Umumnya pernyataan itu dinyatakan dengan huruf kecil, seperti p, q, r, . . .

Contoh:

1.      Pontianak ada di pulau Kalimantan

2.      2 + 4 = 5

3.      Hapus papan tulis itu

4.      Ibu Dewi pandai menjahit

5.      Ekor seekor kambing ada empat

6.      X² – 3x + 4 = 0

7.  Kota Semarang tidak jauh

(1), (2) dan (5) merupakan pernyataan; (1) adalah pernyataan yang benar, sedangkan (2) dan (5) perupakan pernyataan yang salah.

Contoh 3, 4, 6, dan 7 bukan pernyataan sebab kalimat itu benar tidak salahpun tidak.

Kebenaran atau kesalahan suatu pernyataan disebut nilai kebenaran dari pernyataan itu. Nilai kebenaran suatu pernyataan yang benar ditulis B atau T dan nilai kebenaran dari pernyataan yang salah ditulis S atau F

Dua pernyataan atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah pernyataan baru yang merupakan pernyataan majemuk. Contoh pernyataan sederhana sebagai berikut:

   1. Cuaca cerah

   2. Udara dingin

   3. Hari hujan

   4. Cuaca berawan

Kita dapat menggunakan penghubung “dan”, “atau”, “bila maka”, . . . “Jika dan hanya jika . . .” dll, sehingga terbentuk pernyataan majemuk. Dari pernyataan sederhana di muka dapat dibuat pernyataan majemuk sebagai berikut:

1. Cuaca cerah dan udara dingin
2. Udara dingin atau hari hujan
3. Jika cuaca berawan, maka hari hujan, dsb.

C.  Tabel Kebenaran

Untuk dapat melihat nilai kebenaran dari pernyataan majemuk, kita pergunakan tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan pernyataan.

Suatu pernyataan mempunyai dua kemungkinan benar dan salah. Bila kita mempunyai dua pernyataan dan kita gabungkan maka komposisi gabungan kedua pernyataan itu dapat:

1. Pernyataan pertama benar, pernyataan kedua benar
2. Pernyataan pertama benar, pernhyataan kedua salah
3. Pernyataan pertama salah, pernyataan kedua benar
4. Pernyataan pertama salah, pernyataan kedua salah

Andaikan pernyataan yang pertama p dan pernyataan kedua q maka dapat kita rangkum pada suatu tabel sebagai berikut:

P	Q
B	B
B	S
S	B
S	S

1.  Pernyataan Konjungsi

Dua pernyataan dapat kita gabungkan dengan “dan” sehingga terbentuk pernyataan majemuk. Misalnya bila pernyataan “saya pergi mengajar” digabungkan dengan pernyataan “hari hujan” dengan kata dan terbentuk pernyataan majemuk “saya pergi mengajar dan hari hujan”.

Notasi “dan” dalam logika matematika ialah “Λ”

Misalnya bila pernyataan-pernyataannya p dan q, maka “p Λ q “ merupakan konjungsi dari pernyataan p dan q yang artinya “p dan q”

Definisi: Bila p dan q merupakan pernyataan-pernyataan yang benar maka p Λ q merupakan pernyataan yang benar pula. Bila p dan q dalam keadaan lainnya maka p Λ q merupakan pernyataan yang salah.

Contoh:

1. Pontianak ada di pulau Kalimantan dan 2+4 = 6

2. Pontianak ada di pulau Kalimantan dan 2+4 = 5

3. Pontianak ada di pulau Jawa dan 2 + 4 = 6

4. Pontianak ada di pulau Jawa dan 2 + 4 = 5

(1) Merupakan pernyataan yang benar, sedangkan (2), (3) dan (4) merupakan pernyataan yang salah

Tabel kebenaran konjungsi:

P	Q	p Λ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

2.  Pernyataan Disjungsi

Dua sebarang pernyataan dapat digabungkan oleh perkataan “atau” (maksudnya dan atau) sehingga menjadi pernyataan majemuk yang disebut disjungsi dari kedua pernyataan semula.  Notasi “atau” dalam logika matematika ialah  “V”

 Bila dua pernyataan itu ialah p dan q maka disjungsi dari p dan q ditulis p V q dibaca “p atau q”

Definisi: Bila p atau q kedua-duanya merupakan pernyataan yang benar, maka p V q merupakan pernyataan baru yang benar, yang lainnya salah.

Jadi disjungsi dari dua pernyataan itu salah bila kedua komponen pernyataannya merupakan pernyataan yang salah.

Contoh:

1. Pontianak ada di pulau Kalimantan atau 2+4 = 6

2. Pontianak ada di pulau Kalimantan atau 2+4 = 5

3. Pontianak ada di pulau Jawa atau 2 + 4 = 6

4. Pontianak ada di pulau Jawa atau 2 + 4 = 5

(1), (2) dan (3) merupakan pernyataan yang benar, sedangkan (4) merupakan pernyataan yang salah.

1. Pontianak ada di pulau Kalimantan atau 2+4 = 6

2. Pontianak ada di pulau Kalimantan atau 2+4 = 5

3. Pontianak ada di pulau Jawa atau 2 + 4 = 6

4. Pontianak ada di pulau Jawa atau 2 + 4 = 5

(1), (2) dan (3) merupakan pernyataan yang benar, sedangkan (4) merupakan pernyataan yang salah.

 Tabel Kebenaran Konjungsi

p	q	p V q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

3.  Pernyataan Kondisional

Dalam matematika banyak pernyatan-pernyataan atau kalimat-kaliman “bila p maka q”. Pernyatan yang demikian disebu pernyataan kondisionil atau bersyarat ditulis dengan notasi “     “ bila dua  pernyataan itu ialah p dan g, maka kondisionil dari p dan q ditulis p       q (dibaca bila p maka q). Tanda penghubung disebut implikasi. Pernyataan p disebut antisenden dan pernyataan q disebut konsekuen. Misalnya “cuaca berawan maka hari hujan”

Antisendennya ialah cuaca berawan dan konsekuennya ialah hari hujan.

Definisi: pernyataan p     q merupakan pernyataan yang benar kecuali dalam keadaan p merupakan pernyataan yang benar dan q merupakan pernyatan yang salah.

Untuk dapat melihat kapan pernyataan kondisionil itu benar dan salah, kita amati contoh berikut :

Andaikan seorang ayah berjanji kepada anaknya sebagai berikut “Bila kamu lulus ujian maka akan saya belikan sepeda baru”. Ada 4 kemungkinan:

1. Anaknya lulus, dan ia membelikan sepeda baru, tidak melanggar janjinya jadi nilai kebenaran konjungsi benar

2. Anaknya lulus, dan ia tidak membelikan sepeda baru. Apakah ia melanggar janjinya, memang benar ia melanggar janjinya maka kebenaran konjungsinya salah

3. Anaknya tidak lulus ujian, tetapi ia membelikannya sepeda baru. Dalam hal ini ia memenuhi janjinya. Jadi nilai kebenaran kondisionil itu benar

4. Anaknya tidak lulus, dan ia tidak membelikan sepeda baru, tidak melanggar janjinya, jadi nilai kebenaran kondisionil itu benar

Tabel Kebenaran Kondisional

P	Q	p        q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

4.  Pernyataan Bikondisional

Kalimat atau pernyataan dalam matematika yang juga umum ialah “p jika dan hanya jika q”. Pernyataan ini ditulis dengan notasi “    “ bila kedua pernyataan itu ialah p dan q maka bikondisionil dari p dan q ialah p     q dan disebut juga bersyarat ganda.

Definisi: Bila p dan q merupakan pernyatan-pernyataan yang nilai kebenarannya sama, maka p        q merupakan pernyataan yang benar; bila p dan q nilai kebenarfannya tidak sama, maka p    q merupakan pernyataan yang salah

Contoh:

1. Pontianak ada di pulau Kalimantan jika dan hanya jika 2+4 = 6

2. Pontianak ada di pulau Kalimantan jika dan hanya jika 2+4 = 5

3. Pontianak ada di pulau Jawa jika dan hanya jika 2 + 4 = 6

4. Pontianak ada di pulau Jawa jika dan hanya jika 2 + 4 = 5

             Tabel Kebenaran Bikondisionil

p	q	p        q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

5.  Penyangkalan

Penyangkalan (negation=negasi) dari pernyataan p ditulis –p. –p dibaca “bukan p”.

Sudah jelas suatu pernyataan dan penyangkalannya merupakan dua pernyataan yang nilai kebenarannya berlawanan. Misalnya p adalah suatu pernyataan “Pontianak ada di pulau Kalimantan” maka –p ialah “salah bahwa Pontianak ada di pulau Kalimantan atau dengan perkataan sehari-hari –p itu ialah Pontianak tidak ada di pulau Kalimantan.

Definisi: Penyangkalan p ialah benar bila p merupakan pernyataan yang salah, dan sebaliknya pernyataan p itu salah bila p merupakan pernyataan yang benar.

Contoh:

Penyangkalan dari 2 + 4 = 6 ialah bahwa 2 + 4 ≠ 6.

D.  Latihan

1. Andaikan p menyatakan “cuaca berawan” dan q menyatakan “hari hujan”. Berikanlah suatu kalimat verbval yang menyatakan masing-masing proposisi berikut:

     a.  -p                          e.  p Λ -p

     b. p Λ q                     f.  q V -p

     c. p V q                     g. –p     -q

     d. p    q                      h. –p Λ –q

2. Andaikan p menyatakan “dia cantik” dan q menyatakan “dia mempesona”. Tulislah masing-masing dari pernyataan di bawah ini dalam bentuk lambang p dan q

    a.  Dia cantik dan mempesona

    b. dia cantik tetapi tidak mempesona

    c. Adalah tidak benar bahwa dia cantik 

        atau mempesona

    d. dia tidak cantik dan tidak mempesona

    e. Tidak benar bahwa dia cantik atau tidak

        mempesona

3.   Buatlah tabel kebenaran dari proposisi berikut:

     a. (p  Λ q)  V  (q  Λ  p)

     b. (p Λ  q)  Λ   (p V  r)

     c. -p V q

    d.  -(p V q)

    e.  (p Λ-q)    (-p V q)

    f.   (p V q)     ( r Λ s

E.  Pernyataan Tautologi dan Kontradiksi

Pada tabel kebenaran dari suatu pernyataan ada kolom-kolom yang sesuai dengan banyaknya penghubung. Dari kolom-kolom itu ada kolom penghubung terakhir. Bila pada kolom penghubung terakhir itu semuanya B, maka pernyataan yang demikian itu disebut Tautologi. Ada juga yang sebaliknya semuanya S, maka pernyataan yang demikian itu disebut Kontradiksi.

Untuk jelasnya kita buat tabel kebenaran dari

1. p V  -(p Λ q)
2. (p Λ q) Λ –(p V q)
3. p    {p Λ –(q V r) }

      Penyelesaian

  1.  p V  -(p Λ q)

p	Q	p Λ q	-(p Λ q)	p V -(p Λ q)
B	B	B	S	B
B	S	S	B	B
S	B	S	B	B
S	S	S	B	B

 

Karena kolom penghubung terakhir semuanya bernilai benar, maka pernyataan p V  -(p Λ q) adalah tautologi.

F.  Pernyataan-pernyataanEkuivalen

Dua pernyataan disebut ekuivalen bila tabel kebenaran sama. Notasi untuk ekuivalen ialah “≡”

Contoh: Tunjukkan bahwa –(p V q) ≡ -p Λ –q dengan tabel kebenaran

p	q	-p	-q	p V q	-(p V q)	-p Λ –q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	B	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	B	B

Karena kolom 6 dan kolom 7 nilai kebenarannya sama, maka pernyataan

–(p V q) ≡ -p Λ –q

Latihan:

Gunakan tabel kebenaran untuk memeriksa ekuivalensi pernyataan berikut:

1. (p V q) V r ≡ p V (q V r)

2. (p    q) ≡ (-p) V q

G.  Pernyataan Konvers, Invers dan Kontrapositif

Apabila kita mempunyai kondisional  p        q , maka :

q         p disebut konvers dari kondisional  p        q

-p       -q disebut invers dari kondisional  p        q

-q        -p  disebut kontrapositif kondisional  p        q

Misalnya, jika  3 =  2 + 1 maka 5 kurang dari 6 maka konversnya adalah

Jika 5 kurang dari 6, mkaka 3 = 2 + 1 . Jika disajikan dalam tabel maka konvers, invers dan kotrapositif dari kiondisional adalah:

p	q	-p	-q	kondisional	konvers	invers	kontrapositif
				p         q	q        p	-p        -q	-q        -p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

H.  Argumen

Cara pembuktian suatu teorema dalam matematika menggunakan argumen logika yang menyatakan bahwa kebenaran teorema berdasarkan pada kebenaran teorema yang sudah dibuktikan sebelumnya dan kebenaran  yang berupa kesepakatan yang disebut aksioma

Rangkaian keguatan penalaran yang disebutkan di atas menunjukkan bahwa suatu pernyataan tertentu mengikuti secara runtut dari satu atau lebih pernyataan lain. Pernyataan yang menurunkan pernyataan disebut hipotesis, sedang pernyataan yang diturunkan disebut kesimpulan.

Kumpulan pernyataan yang memuat semua hipotesis dan kesimpulan disebut argumen.

Misal silogisma Aristoteles,

(1)   Semua pahlawan adalah manusia

(2)   Semua manusia adalah makhluk hidup karena itu,

(3)   Semua pahlawan adalah makhluk hidup, ini merupakan susunan pikiran yang berasal dari hipotesis (1) dan (2), dan dengan menggunakan suatu hukum logika sampai kepada kesimpulan (3). Tetapi perlu ditekankan bahwa argumen ini tidak mengembangkan kebenaran pernyataan (1), (2) dan (3). Beberapa argumen dapat memuat hipotesis dan kesimpulan sebagai pernyataan-pernyataan yang bernilai salah. Argumen hanya berkenan dengan pembuktian pernyataan:

[(1) Λ (2)] → (3) bernilai benar

Kondisi ini dapat dilihat dengan hukum logika yang memperkenalkan kita mengambil kesimpulan (3) dari hipotesis (1) dan (2) menggunakan tabel kebanaran untuk pernyataan [(p → q) Λ (q → r)]  →  (p→ r) bernilai benar, tidak tergantung kepada nilai kebenaran p, q, dan r. Pernyataan ini disebut hukum silogisme.

Jika kita perhatikan argumen Aristoteles dan hukum silogisma, kita dapat melihat bagaimana kabsahan (validity) dapat dikembangkan.

(1)  Jika sesuatu itu adalah pahlawan, maka sesuatu itu adalah manusia

(2) Jika sesuatu itu adalah manusia, maka sesuatu itu adalah makhluk hidup. Karena itu,

(3)  Jika sesuatu itu adalah pahlawan, maka sesuatu itu adalah makhluk hidup.

Sebagai contoh, pernyataan-pernyataan berikut sebagai hipotesis ((1) – (4)) dan kesimpulan (5).

(1)  Jika seseorang merokok, maka ia akan sakit kanker

(2)  Jika seseorang sakit kanke, maka ia harus masuk rumah sakit

(3)  Jika seseorang masuk rumah sakit, maka ia harus membayar biaya pengobatan

(4)  Jika seseorang harus membayar biaya pengobatan, maka ia harus bekerja keras

       Karena itu

(5)  Jika seseorang merokok, maka ia harus bekerja keras

Kondisional [(1) Λ (2) Λ (3) Λ (4)  → (5) bernilai benar terlihat dalam bentuk simbolik dari argumen berikut ini:

(1)  p → q

(2)  q → r

(3)  r → s

(4) s  → t

     Karena itu,

(5)  p → t

Contoh 1:

Tentukan kesahihan argumen yang diberikan berikut ini

(i)   Jika hari hujan, maka jalan-jalan basah

(ii)  Hari hujan

Jadi, jalan-jalan basah

Jawaban

Argumen pada contoh adalah sahih, sebab sesuai dengan pola srgumen

p → q

p

     q

Tabel kebenarannya

P	q	p→ q	( p→ q ) Λ p	{( p→ q ) Λ p} → q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Karena kolom penghubung terakhir semuanya bernilai benar maka argumen tersebut sahih.

UNIT  3

RELASI DAN FUNGSI

I.  RELASI

A.  Pasangan Berurutan

Pasangan berurutan elemen-elemen  (unsur-unsur) adalah sepasang elemen dimana satu elemennya dikhususkan sebagai elemen pertama dari pasangan itu.

Kita pakai tanda kurung kecil untuk menunjukkan pasangan berurutan ini, misalnya (a,b). Pasangan berurutan ini antara lain terdapat pada absis dan ordinat suatu titik pada sistem koordinat ortogonal. Misalnya titik (2,3) berbeda dengan titik (3,2). Jadi pasangan berurutan (a,b) ≠ (b,a)

B.  Himpunan Perkalian

Himpunan perkalian dua himpunan A dan B, dilambangkan dengan A x B, adalah semua pasangan terurut (a,b) dimana a ε A dan b ε B

Contoh:

Jika A = {1,2,3} dan B = {a,b}, maka:

A x B = {(1,a) , (1,b) , (2,a) , (2,b),(3,a) , (3,b)}

B x A = {(a,1) , (a,2) , (a,3) , (b,1) , (b,2) , (b,3)}

B x B = {(a,a) , (a,b) , (b,a) , (b,b)}

AxA ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)

C.  Diagram Koordinat

Perkalian Cartesius dari dua himpunan, jika elemennya tidak terlalu banyak, dapat diperlihatkan di dalam suatu diagram koordinat. Misalnya himpunan A = {a,b,c}, dan B = {1,2}, maka diagram koordinat A x B dan B x A diperlihatkan pada gambar berikut:

D.  Relasi

Suatu relasi (R) dari himpunan A terhadap himpunan B menunjukkan kepada tiap pasangan (a,b) pada AxB, dimana a ε B dan b ε B  salah satu dari:

1. “a berelasi dengan b” ditulis a R b
2. “a tidak berelasi dengan b” ditulis a R b
3.  

Sebagai contoh, andaikan kita mempunyai himpunan

A= {a,b,c} dan B = {1,2}

R = {(a,1) , (a,2) , (b,1) , (b,2) , (c,1) , (c,2)} merupakan relasi A terhadap B, sebab AxB = {(a,1) , (a,2) , (b,1) , (b,2) , (c,1) , (c2)}

Contoh lain: misalkan R relasi pada A = {a,b} relasi dari A ke A dimana R = {(a,a),(b,b)}, maka a  R a, a R b , b R a , b R b

Himpunan semua komponen pertama dari pasangan berurut R disebut daerah asal R (domain R), semua komponen kedua dari pasangan berurut R disebut daerah hasil R (kodomain atau range R)

Contoh 1

Misalkan A adalah suatu himpunan manusia. Dengan relasi R, maka a R b dimaksudkan sebagai suatu pernyataan a mempunyai ibu kandung b

Contoh 2

Misalkan A adalah himpunan bilangan real. Jika A, b, ε A, a berelasi R dengan b atau ditulis (a R b) dimaksud sebagai pernyataan bahwa ”a² = b”.

Kedua contoh ini merupakan contoh relasi pada himpunan A. Kesamaan dari kedua contoh tersebut ialah bahwa tidak adanya satu a ε A sehingga a R b dan a R c sekaligus. Kesamaan yang lain ialah bahwa tidak ada satu pun a ε A sehingga a tidak berelasi R dengan anggota a yang lain.

Difinisi: Relasi dari himpunan a ke himpunan B adalah himpunan pasangan berurutan yang merupakan himpunan bagian dari A x B. Daerah asal, daerah definisi atau domain dari suatu relasi adalah himpunan yang anggotanya terdiri dari unsur-unsur pertama dari pasangan berurutan itu, sedangkan daerah hasil dari suatu relasi adalah himpunan yang anggotanya terdiri dari unsur-unsur kedua dari pasangan berurutan itu.

E.  Relasi Invers

Misalkan R merupakan relasi dari A kepada B. Invers R dinyatakan dengan R^-1 , adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan berurutan yang bila dipertukarkan menjadi semua pasangan berurutan dari R maka R^-1 = { (b,a) / (a,b) ε R }

Misalkan kita mempunyai relasi R pada A = {1,2,3}. R = {(1,2), (1,3), (2,3). Maka R^-1 = {(2,1), (3,1), 3,2)}

Contoh lain misalkan A = {1,2,3} dan B = {a,b}. Relasi dari A ke B merupakan A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}, maka

R^-1 = {(a,1), (b,1), (a,2), (b,2), (a,3), (b,3)} merupakan B x A.

Dari contoh itu kita dapat mengambil kesimpulan bahwa invers dari relasi merupakan relasi pula dan daerah asal R = daerah hasil R^-1 dan daerah hasilo R = daerah asal R^-1 , maka  R^-1 merupakan himpunan bagian dari daerah hasil R x daerah asal R.

Contoh 1

Misalkan R = {(0,1), (1,1), (1,-2), (3,4)}

1. Sebutkan daerah asal dan daerah hasil

b. Gambar diagram panahnya.

Jawab

a.  Daerah asal = {0, 1, 3} dan daerah hasil = {-2, 1, 4}

b.  Diagram panahnya

 

Contoh 2

Diketahui himpunan A = {-1, 0, 1, 2, 3}; B = {-3, -1, 1, 2}

a. Tulislah relasi sebagai pasangan berurutan yang menunjukkan hubungan ”kurang dari” dari himpunan A ke himpunan B

b.  Gambar diagram panahnya

Jawab

a.  {(-1,1), (-1,2), (0,1), (0,2), (1,2)}

b. 

                              

 

F.  Fungsi

Definisi :  Fungsi adalah relasi dimana setiap unsur dari daerah asalnya dipasangkan  dengan tepat satu unsur dari daerah hasilnya.

Definisi di atas menyatakan bahwa pada fungsi itu tidak ada pasangan berurutan yang unsur pertamanya sama, dan semua unsur daerah asalnya harus dipasangkan.

Jadi pada fungsi itu :

1. Ada suatu himpunan D yang disebut daerah asal, daerah definisi, atau domain
2. Ada suatu himpunan K yang disebut daerah kawan atau kodomain
3. Ada suatu relasi yang memasangkan setiap unsur dari D ke tepat satu unsur dari K. Himpunan bagian dari K yang anggotanya semua unsur pasangan unusr-unsur dari D disebut daerah hasil dari fungsi itu

Contoh:

1. Diagram panah berikut menunjukkan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Relasi mana yang merupakan fungsi

     a.        A                      B                                 b.         A                     B

 

       c.          A                    B                                    d.         A                     B

 

Jawab :

a.        bukan fungsi, sebab ada sebuah unsur dari daerah asal yang tidak punya  pasangan pada daerah hasilnya.

b.      bukan fungsi, sebab sebuah unsur dari daerah asal mempunyai dua unsur sebagai pasangannya pada daerah hasilnya.

c.         Fungsi, sebab setiap unsur dari daerah asalnya dipasangkan dengan tepat satu unsur dari daerah hasilnya

d.      Fungsi, sebab setiap unsur dari daerah asalnya dipasangkan dengan tepat satu unsur dari daerah hasilnya.

2. Perhatikan kembali relasi dari himpunan banyaknya sisi suatu segi banyak ke himpunan banyaknya diagonal yang dapat ditarik melalui satu titik sudut pada segiempat itu. Apakah relasi itu fungsi:

Jawab :

Relasi itu fungsi, sebab untuk setiap segibanyak terdapat tepat sejumlah tertentu diagonal yang dapat ditarik melalui satu titik sudut.

Fungsi dinyatakan juga dengan:

1.      Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B

Definisi :  Bila A dan B himpunan, pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap unsur dari A ke tepat satu unsur dari B.

Bila a ε A dan b ε B dan a dipasangkan dengan b, maka dikatakan bahwa a dipetakan ke b, ditulis a           b ; b disebut bayangan atau peta a

Pemetaan dari A ke B diagram panahnya adalah sebagai berikut :

           A                                       B

 

 

 

Contoh :

Apakah relasi berikut ini pemetaan dari A ke B

a.      A                   B                  A                  B                  A                  B

 

Jawab :

a.       ya

b.      bukan, sebab d petanya ada pada dua buah (tidak sebuah)

c.       bukan, sebab c tidak punya peta

2.  Pemetaan lain ialah pemetaan dari himpunan A kepada himpunan B (onto),

Definisi : Bila A dan B himpunan, pemetaan dari himpunan A ke pada himpunan B adalah suatu relasi bila setiap unsur dari B merupakan peta paling sedikit dari satu unsur dari A.

Contoh : Misalkan murid dan bus, dalam keadaan apakah akan terjadi pemetaan dari A ke B (jawab: bilasemua tempat duduk terisi).

               Dengan diagram panah pemetaan dari A ke B adalah sebagai berikut :

                           A                     B

3. Pemetaan 1-1 (satu-satu)

Definisi : Bila A dan B himpunan, pemetaan 1 - 1 (pemetaan satu-satu) dari himpunan A kepada himpunan B adalah suatu relasi bila setiap unsur dari B adalah peta dari unsur-unsur dari A, dan tidak ada dua unsur  berbeda dari A mempunyai peta yang sama di B. Kata lain untuk pemetaan 1 – 1 kepada adalah korespondensi satu-satu.

Contoh:

a.       Dari relasi yang diagram panahnya sebagai berikut, manakah yang merupakan pemetaan dari – ke, pemetaan dari – kepada, dan pemetaan 1 -1 dari – kepada

            A                              B                                       A                  B

 

                     A                              B                                       A                  B

 

Jawab :

1)      bukan pemetaan, sebab peta dari 1 lebih dari sebuah

2)      pemetaan dari C kepada B

3)      pemetaan dari A ke B

4)      pemetaan 1 -1 dari A kepada B, atau pemetaan dari A kepada B

b.      Dari relasi berikut manakah yang merupakan pemetaan dari – ke, pemetaan dari ke – kepada, pemetaan 1 -1 dari – kepada

1)      { (1,1), (2,2), (3,2) }

2)      { (1,1), (2,2), (3,3) }

3)      { (1,1), (2,1), (3,3) }

4)      { (1,1), (1,2), (1,3) }

5)      { (0,0), (-1,1), (1,1), (-2,2), (2,2), ...}

6)      {    1     ,     2     ,     3     ,     .  .  . }

      { 0,2     ,     4     ,     6     ,     .  .  . }

Jawab:

1)      pemetaan dari {1, 2, 3} kepada {1, 2}

2)      pemetaan dari {1, 2, 3} kepada {1, 2, 3} atau pemetaan 1 – 1 dari {1, 2, 3} kepada {1, 2, 3}

3)      pemetaan dari {1, 2, 3} kepada {1, 3}

4)      bukan pemetaan, sebab peta dari 1 lebih dari sebuah

5)      pemetaan dari { . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . kepada 0, 1, 2, . . . }

6)      pemetaan dari {1, 2, 3, . . . } ke {0, 2, 4, 6, . . .}

4. Notasi Fungsi

Fungsi sering diberi nama dengan huruf f, g atau h.

           A         f           B

 

            f = { (1,a), (2,b), (3,b) }

Contoh

Fungsi g adalah f : x          x + 4

Carilah daerah hasil dari pasangan berurutan dari fungsi f dimana f memetakan { 1, 0, -4 } ke himpunan bilngan cacah

Jawab:

f : 1         1 + 4 = 5. jadi f memetakan 1 ke 5

f : 0         0 + 4 = 4. jadi f memetakan 0 ke 4

f : -4 + 4 = 0. jadi f memetakan -4 ke 0

Daerah hasil dari fungsi f : x          x + 4 dengan { 1, 0, -4 }sebagai daerah asal adalah {5, 4, 0 }

Notasi lain dari fungsi adalah f(x) berarti nilai di daerah hasil dari fungsi f, dimana sebarang nilai x di daerah asalnya dipetakan. Fungsi f yang didefinisikan sebagai f(x) = x + 4, sama artinya dengan fungsi f didefinisikan sebagai f : x           x + 4

Bila A adalah daerah asal dan B adalah daerah kawan dari suatu fungsi f maka ”f  fungsi dari A ke B” ditulis pula sebagai f : A           B

G.  Latihan

1.  Lengkapilah diagram panah berikut yang menunjukkan relasi ”kurang dari” dari himpunan M ke himpunan N

                 M                       N

    Untuk soal 2, 3, 4 berikut:

a.  Tunjukkan daerah asal dan daerah hasilnya

b.  Gambar diagram panahnya

c.  Gambar grafiknya

2.  Diketahui relasi {(1,2), (2,0), (2,1), (3,1), (4,2)}

3.  Diketahui relasi {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)}

4.  Diketahui relasi {(3, -3), (1, -1), (0,0), (-1,1), (-3,3)}

5.  Gambarlah diagram panah untuk menunjukkan relasi

a.  Faktor dari himpunan A = {1,2,3,4} ke himpunan B = {2,4,6,8}

b.  Kelipatan dari himpunan A= {1,2,3,4} ke himpounan B = {2,4,6,8}

c. Lebih dari” dari himpunan a = {1,2,3,4} ke himpunan B = {2,4,6,8}

6.  Carilah relasi invers dari relasi-relasi pada soal nomor 2,3, 4. Tuliskan pula daerah asal dan daerah hasilnya

7.  Manakah relasi-relasi berikut yang merupakan fungsi:

a.  {(1,2), (2,2), (1,3)}

b.  {(1,1), (2,1), (3, 2)}

c.  {(2,2), (3,3), (5,5), (7,7)}

d.  {(-1,1), (-2, 2), (-3, 3), (-1 , 4)}

UNIT 4

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

I.  PERSAMAAN

A.  Istilah-istilah dalam persamaan

1. Variabel = sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real. Variabel biasa dinotasikan dengan huruf kecil : x, y, a, u, dll.

 Contoh: 5+5 = 2x5 berlaku juga untuk a+a = 2a atau disingkat menjadi 2a

 2x3 = 3x2       2a = a x 2 = 2a

2.  Konstanta

Perhatikan contoh pada 2a, bilangan 2 menyatakan banyak variabel a dan disebut suku atau lebih lengkap suku aljabar. Jika suku aljabar tidak memuat variabel hyanya terdiri dari bilangan saja maka bilangan tersebut disebut konstanta.

3. Koefisien

Jika suatu suku dikalikan dengan suatu bilangan atau variabel baik variabel yang sama maupun bebeda hasil kalinya merupakan suku juga.

Contoh

Jika 3axb maka diperoleh 3ab yang merupakan sebuah suku, sedangkan

koefisien dari ab adalah 3

 Jika dua suku yang sama dijumlahkan atau lebih maka akan diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya suku dengan suku tersebut.

  Contoh: jika 3y + 3y + 3y maka diperoleh

  3 x 3y = 9y

Jika dua suku yang memuat variabel sama atau lebih maka untuk menyederhanakannya, kita dapat menggunakan aturan distributif.

  Contoh: Jika 2n + 5n maka diperoleh     (2 + 5)n = 7n

Pada setiap suku aljabar dapat dikenakan operasi perkalian dan pembagian seperti  pada bilangan. Contoh:

  a. 2 x 5y = (2 x 5)y = 10 y

  b. 12p : 3 = (12 : 3)p = 4p

Sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat juga berlaku pada pengerjaan operasi hitung suku aljabar; Contoh:

  a. r x s = s x r = rs      ( sifat pertukaran pada perkalian /komutatif)

  b. a x (b x c) = (a x b) x c    ( sifat pengelompokan pada perkalian/asosiatif)

  c. 2p (q + r) = (2p x q) + (2p x r)= 2pq + 2pr (sifat penyebaran perkalian terhadap penyebaran/ distributif)

  Bentuk umum persamaan linear dengan satu peubah:

  ax + b = c dengan a ≠ 0 dan b,c adalah konstanta.

B.  Persamaan Linier

 Persamaan adalah pernyataan atau kalimat matematika tebuka yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh relasi “=“ (sama dengan)

 Contoh : x + 6 = 10 ; 5x + 3 = 8

Persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1.

Bentuk umum persamaan linear dengan satu peubah:

ax + b = 0 dengan a,b ε R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0

Contoh

 Tentukan penyelesaian persamaan linear

 a. x + 6 = 10

 b. 3x + 5 = 8

 c. 2x – 7 = 5

 d. 7x – 3 = 5x + 9

 e. 4(y-1) + 5(y+2) = 3(y-8)

       x – 3       2x + 3

 f.              = 

         2             3

Penyelesaian

a.   x + 6 = 10

     x + 6 – 6 = 10 – 6  →  kedua ruas dikurang 6

     x = 4  

 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 4 }

b.  3x + 5 = 8

      3x + 5 – 5 = 8 – 5  →  kedua ruas dikurang 5

      3 x = 3

      1/3 (3x) = 1/3 (3)  →  kedua ruas dikali 1/3

       x = 1

       Jadi himpunan penyelesiannya adalah { 1 }

 Penyelesaian c, d, dan e silahkan dikerjakan.

c. 2x-7= 5

2x = 7+5

  x = 12/2

     = 6

d.  7x-3 = 5x+9                      

    7x-5x =3+9

        2x  =12

          x  = 6

C.  Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari

variabelnya adalah 2.

 Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0 dengan a,b,c ε R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a≠ 0

Contoh:

   x² – 4 =0

   2x² – 4x = 0

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat terdapat tiga cara yaitu
1. Dengan Cara faktorisasi

2. Dengan melengkapkan kuadrat

3. Dengan rumus

 1.  Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi

Sifat aljabar yang digunakan adalah:

Untuk a dan b bilangan real, jika ab=0 maka a=0 atau b=0 dan jika a=0 atau

b=0, maka ab=0

 Contoh:

a. Tentukan himpunan selesaian

    2x² – 4x = 0

Jawab

 2x² – 4x = 0

 2x(x – 2) = 0

  2x = 0 atau x-2 = 0

    x = 0 atau x = 2

  Jadi himpunan selesaiannya { 0, 2 } dibaca 0 atau 2

b.  2x² + x – 1 = 0

c.  3n² + 14n-5 = 0

d. x²- 6x+5=0

2.  Menyelesaikan persamaan kuadrat   dengan melengkapkan kuadrat

 Cara melengkapkan kuadrat yaitu mengubah

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 menjadi bentuk (x-m)² = n dengan m dan n real dan n ≥ 0

Contoh;1

Tentukan himpunan selesaian x²–6x+5 = 0

Jawab:

 x² – 6x + 5 = 0 

       x² – 6x = -5

 x² – 6x + 9 = -5 + 9     (9 berasal dari ½(-6)= -3²= 9)

         (x-3)²  = 4

X-3 = √4 atau x-3 = -√4

X-3 = 2 atau x-3 = -2

X = 5 atau x = 1

Jadi himpunan selesaiannya adalah {1,5}

2. x² + 2x -3 = 0

3. x² + 2x + 2 = 0

4. 3x² – 2x – 1 = 0

    Penyelesaian:

    1/3(3x² – 2x – 1) = 0

    x² – 2/3x – 1/3 = 0     à      ½(- 2/3) = (-1/3)² = 1/9

    x² – 2/3x + 1/9 = 1/3 + 1/9

    x² -2/3x + 1/9 = 4/9

    (x – 1/3)² = 4/9

    x – 1/3 = √4/9   atau   x – 1/3 = - √4/9

    x – 1/3 = 2/3     atau   x – 1/3 = - 2/3

         x = 1            atau         x = 1/3

    jadi, himpunan selesaiannya adalah {1,1/3}

Silahkan dikerjakan!!!

3.   Menyelesaikan persamaan kuadrat  dengan rumus

Cara yang paling cepat dan praktis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat  yaitu dengan mengunakan rumus yang diperoleh dari cara melengkapi kuadrat;

Bentuk umum persamaan kuadrat

  ax² + bx + c = 0, a, b dan c bilangan real dan a ≠ 0 diselesaikan dengan cara

melengkapi kuadrat.  

rumus diselesaikan dengan:

  atau

Contoh: 1

 x² + 5x + 4 = 0      a = 1; b = 5 ; c = 4

            - 5 ±  √5² – 4.1.4

     x =

                     2.1

             - 5 ±  √2⁵ – 16

        =

                      2

              -5 + √9             -5 ± 3

        =                       =

2                                                2

                   -5 + 3   

Maka x =                  = -1    atau

                       2

                      -5 – 3 

              x =               = -4

                           2

Jadi himpunan penyelesaiannya {-4, -1}

2. x² + 4x + 5 = 0

 3. x² – 6x + 5 = 0

 4. x² – 2x + 1 = 0

Silahkan dikerjakan

D.  Pertidaksamaan Linier

 Suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih peubah dan relasi ≤ < ≥, atau > disebut suatu pertidaksamaan.

Berikut ini merupakan beberapa contoh pertidaksamaan:

  1. x + 6 > 3

  2. x – 5 ≤ 7 + 2x

  3. x + y < 2

  4. x² – 5x + 6 ≥ 0

  5. x² + y² > 4

Bila pertidaksamaan hanya mengandung satu peubah dan berpangkat satu maka pertidaksamaan tersebut dinamakan pertidaksamaan linear satu peubah.

Contoh 1 dan 2 merupakan suatu pertidaksamaan linear satu peubah sedang contoh 3, 4 dan 5 bukan.

Bentuk umum pertidaksamaan linear dengan satu peubah adalah

ax+b≥0 ; ax+b>0 ; ax+b≤0 ; ax+b<0

Contoh: tentukan penyelesaian dari:

1.                                                5x – 3 > 7

     Penyelesaian:

     5x – 3 + 3 > 7 + 3 kedua ruas ditambah 3

     5x > 10

    1/5(5x) > 1/5(10)      Kedua ruas dikali 1/5

          x > 2

    Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:

     {x / x > 2}

  2. -2x + 1 ≤ 3

  3. -3a + 5a – 2≥8a – 7 – 9a

E.  Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dengan satu peubah adalah:

 ax² + bx + c > 0

 ax² + bx + c ≥ 0

 ax² + bx + c  < 0

 ax² + bx + c ≤ 0

Untuk mencari penyelesaian pertidaksamaan kuadrat bentuk baku:

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadratnya yaitu: ax+bx+c=0.

Dari pembehasan sebelumnya jika b2-4ac>0 maka himpunan penyelesaiannya beranggotakan 2 bilangan real, jika b2-4ac<0 maka himpunan penyelesaiannya merupakan himpunan kosong.

2.  Selanjutnya penyelesaian dari persamaan tersebut kita tempatkan pada garis bilangan.

3. Langkah terakhir adalah memberikan tanda untuk ax²+bx+c=0 dengan mengambil sebarang bilangan pada setiap selang dan menghitung nilai ax²+bx+c=0 dengan bantuan tabel. Dari tabel dapat disimpulkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat tersebut.

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a.  x² + 6x – 7 < 0

Penyelesaian

 x2 + 6x – 7 < 0

 x2 + 6x – 7 = 0

 (x-1)(x+7) = 0

  x-1 = 0 atau x+7 = 0

  x = 1 atau x = -7 Maka HP {-7 , 1)

 Selangnya:                                                   

 (-∞, -7) ; (-7 , 1) ; (1, ∞)

            o              o

           -7              1

Selang	Nilai x yang dipilih	Nilai X2+6x-7 untuk  Nilai x yang diplilih	Tanda x2+6x-7 Pada selang
( - ∞, -7 (-7 , 1) (1 , + ∞)	-9 0 2	(-9)2 + 6(-9) – 7 = 20 (0)2 + 6(0) – 7 = -7 (2)2 + 6(2) – 7 = 9	+ - +

Dari tabel di atas, dapat disimpulkan bahwa x2 + 6x – 7 < 0 hanya jika x terletak pada interval (-7,1) Jadi Himpunan penyelesaian dari x2 + 6x – 7 < 0 adalah : (x / -7 < x < 1)

F.  Sistem Persamaan Linier

Bentuk umum sistem persamaan linear

dengan dua peubah adalah:

 a₁x + b₁y = c₁

 a₂x + b₂y = c₂

Dengan a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, dan c₂ merupakan bilangan-bilangan real.

Ada 3 masalah dalam menyelesaikan sistem persamaan linear:

 - ada tidaknya penyelesaian

 - metode penyelesaian

 - deskripsi selengkapnya mengenai penyelesaian.

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan metode substitusi.

 Contoh:

 x + y = -8

 2x – y = -1

 Penyelesaian:

 Pilih persamaan x + y = -8, kemudian kita nyatakan x sebagai y sehingga diperoleh

 x = -8 – y lalu substitusikan ke dalam persamaan 2x – y = -1 sehingga diperoleh

2x – y = -1

  2 (-8-y) – y = -1

  -16 -2y – y = -1

          -3y = -1 + 16

          -3y = 15

             y = -5

Sehingga diperoleh x= -8 – y

                                  = -8 –(-5)

                                  = -8 + 5

                                  = -3

 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear

Adalah (-3, -5)

Menyelesaikan persamaan linear dua peubah dengan metode eliminasi dilakukan dengan langkah-langkah:

 - Nilai x ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel y

 - Nilai y ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel x

  Contoh:

  x + y = -8

  2x – y = -1

Penyelesaian

  x + y = -8

  2x – y = -1

                        +

3x         = -9

  x        = -3

selanjutnya masukkan nilai x ke salah satu persamaan

-3 + y = -8

-3 + y + 3 = -8 + 3

y   = -5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -3 , -5 }

UNIT 5

PENGELOLAAN DATA

I.  PENYAJIAN DATA DENGAN TABEL

Data yang telah dikumpulkan, baik yang berasal dari populasi ataupun dari sampel, untuk keperluan laporan dan atau analisis selanjutnya, perlu diatur, disusun, disajikan dalam bentuk yang jelas dan baik. Ada dua cara penyajian data yang sering dipakai yaitu penyajian data dengan tabel atau daftar dan dengan grafik atau diagram. Penyajian data dengan tabel atau daftar ada dua macam yaitu penyajian data tunggal dan data berkelompok (distribusi frekuensi).

A.  Penyajian data tunggal kedalam tabel atau daftar.

   Contoh : Misalnya dibrikan data yang menyatakan banyaknya anak dari 30 pasang suami-istri dari sebuah Rukun Tetangga sebagai berikut:

    7   1   1   0   3   4   5   5   3   2   3   3   6   6   2

    4   2   1   0   0   3   4   5   6   3   1   4   1   3   4

   Untuk mempermudah membuat tabelnya, pertama-tama dicari data terkecil dan data terbesar, kemudian menghitung selisih data terkecil dan data terbesar. Dari data di atas, data terkecil = 0, sedangkan data terbesar = 7.  Jadi rentang = 7-0 = 7.

Agar dapat dipahami secara lebih berarti kan disajikan daftr bilangan-bilangan tesebut kedalam sebuah daftar yaitu

Tabel …     Banyaknya anak dari 30 pasang suami-istri RT …

Banyaknya anak	Turus	Frekuensi
0 1 2 3 4 5 6 7	III IIII III IIIII IIIII III III I	3 5 3 7 5 3 3 1

B.  Menyajikan data ke dalam tabel distribusi frekuensi

Menyajikan data ke dalam distribusi frekuensi dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a.  Tentukan nilai rentang yaitu nilai data terbesar dikurangi nilai data terkecil

b. Tentukan banyak kelas yang digunakan, dapat dilakukan dengan aturan sturges dengan rumus sebagai berikut : k = 1 + (3,3) (log n)

c.  Tentukan panjang kelas interval.

        P =

d.  Tentukan nilai ujung bawah kelas interval pertama

Contoh

Kumpulan bilangan yang merupakan data tentang skor 40 orang mahasiswa pada tes matematika sebagai berikut:

35    42  51  69  61  62  73  84  91  39   45   55  64  74  85  95  49  55  64  75

85     96  57  65  75  86  96  60  64  75  87   91  65  75  61  78  69  79  80  89

  Langkah-langkah penyajian data ke dalam tabel distribusi adalah sebagai berikut:  

1) Rentang = 96 – 35 = 61

2) Banyak kelas interval = 1 + (3,3) (log 40)

                                 = 1 + (3,3) (1,6021) = 6,286

                                 = 6 atau 7 buah (ambil 7)

3) Panjang kelas in terval

                        

4) Ujung bawah kelas interval pertama adalah 31

Kelas Interval	Frekuensi
35 – 43 44 – 52 53 – 61 62– 70 71 – 79 80– 88 89 – 97	2 3 5 10 9 6 5
∑	40

Tabel distribusi kumulatif dan  relatif

Kelas Interval	Frekuensi	F Kum	F Rel (%)	F kum Rel
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	2 3 5 10 9 6 5	2 5 10 20 29 35 40	5 7,5 12,5 25 22,5 15 12,5	5 12,5 25 50 72,5 87,5 100
∑	40		100

D.  Latihan

Diberikan data nilai tes sumatif matematikma dari Mahasiswa S-1 PGSD sebagai berikut:

45   40   65   75   85   50   60   70   65   60

60   70   75    90   50   85   60  55   75   65

45   65   60   75   70   70   85   60   80   90

55   65   95   45   55   45   75   65   65   60

Pertanyaan

–        Sajikan data tersebut ke dalam tabel data tunggal

–        Sajikan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi

–        Buat tabel frekuensi kumulatifnya

–        Buat tabel frekuensi relatifnya.

–        Ujung bawah dan ujung atas k.i

–        Batas bawah dan batas atas k.i

–        Tanda kelas i

Tabel data tunggal nilai tes sumatif matematika 40 mahasiswa

Nilai	Turus	Frekuensi	F Kum	F Rel
40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95		1 4 2 3 7 7 4 5 1 3 2 1
∑

Tabel distribusi frekuensi nilai tes sumatif Matematika 40 mahasiswa

KELAS INTERVAL	FREKUENSI	F Kum	F Rel	F Rel Kum
40 – 47 48 – 55 56 – 63 64 – 71 72 – 79 80 – 87 88 – 95	5 5 7 11 5 4 3	5 10 17 28 33 37 40	12,5 12,5 17,5 27,5 12,5 10,0 7,5	12,5 25,0 42,5 70,0 82,5 92,5 100
∑	40		100

Tabel ujung bawah, ujung atas, batas bawah dan batas atas dari tabel distribusi frekuensi

KELAS INTERVAL	FREKUENSI	Ujung bawah	Ujung atas	Batas bawah	Batas atas
40 – 47 48 – 55 56 – 63 64 – 71 72 – 79 80 – 87 88 - 95	5 5 7 11 5 4 3	40 48 56 64 72 80 88	47 55 63 71 79 87 95	39,5 47,5 55,5 63,5 71,5 79,5 87,5	47,5 55,5 63,5 71,5 79,5 87,5 95,5

II. PENYAJIAN DATA DENGAN DIAGRAM

Untuk menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram, digunakan diagram batang, diagram garis dan diagram lingkaran.

A.  Diagram Batang 

Diagram batang adalah diagram berdasarkan data berbentuk kategori. Contoh: Misalkan jumlah siswa siswa SLB, SD, SLTP, SMA, SMK di kota X pada tahun 2006 adalah:

Jumlah SLB ada 270 orang

Jumlah SD ada 1500 orang

Jumlah SLTP ada 900 orang

Jumlah SMA ada 1100 orang

Jumlah SMK ada 870 orang

Penyelesaian gambar Diagram batangnya adalah: pada sumbu datarnya ditulis SLB,  SD,  SLTP, SMA, SMK, sedangkan pada sumbu tegaknya ditulis jumlah siswa.

B.  Diagram Garis

Diagram garis  adalah diagram yang digambarkan berdasarkan data waktu, biasanya waktu yng digunakan adalah tahun atau bulan.

Contoh: Berikut diberikan data mengenai jumlah siswa yang diterima di sebuah SMA dari tahun 2001 sampai 2006

Tahun 2001 siswa yang diterima 150 orang

Tahun 2002 siswa yang diterima 162 orang

Tahun 2003 siswa yang diterima  175 orang

Tahun 2004 siswa yang diterima 200 orang

Tahun 2005 siswa yang diterima 225 orang

Tahun 2006 siswa yang diterima 240 orang

 

  

C.   Diagram Lingkaran

 Diagram lingkaran diartikan sebagai cara penyajian sekumpulan data ke dalam lingkaran, dengan lingkarannya dibagi menjadi beberapa bagian sesuai dengan pengklasifikasian datanya.

Contoh:

 Lihat kembali data dalam contoh diagram batang mengenai jumlah siswa SLB, SD, SLTP, SMA, SMK di kota X tahun 2006. Sebelumnya kita harus mengubah dahulu ke dalam bentyuk persentase untuk masing-maing tingkatan sekolah.

•         SLB = 270/4640 x 100% = 5,82 = 6%

•         SD   = 1500/4640 x 100% = 32,33 = 32%

•         SLTP = 900/4640 x 100% = 19,40 = 19%

•         SMA = 1100/4640 x 100% = 23,71 = 24%

•         SMK = 870/4640 x 100% = 18,75 = 19%

Selanjutnya nilai persentase diubah kedalam satuan derajat masing-masing sekolah.

•         SLB =  6/100 x 360^o  =  21,60  = 22^o

•         SD  =  32/100 x 360^o  =  115,20 = 115^o

•         SLTP =  19/100 x 360^o  = 68.40 = 68^o

•         SMA =  24/100 x 360^o =  86,50 =  87^o

^•           SMK =  19/100 x 360^o  =  68,40 = 68^o

D.  Histogram dan Poligon

Misalkan tinggi badan (dicatat dalam cm) dari sejumlah mahasiswa angkatan 2007/2008 PGSD FKIP Untan diberikan dalam tabel berikut:

Tinggi Badan	fi	Nilai tengah	Batas bawah	Batas atas
152 – 154 155 – 157 158 – 160 161 – 163 164 – 166 167 -  169 170 -  172	15 17 25 20 15 12 8	153 156 159 162 163 168 171	151,5 154,5 157,5 160,5 163,5 166,5 169,5	154,5 157,5 160,5 163,5 166,5 169,5 172,5
J u m l a h	112

Gambar Histogram dan Poligon frekuensinya sebagai ber

E.  Latihan

1.  Luas dari bagian-bagian sebuah SD diketahuio sebagai berikut:

    Semua kelas                  720 m2

    Kantor                           280 m2

    Laboratorium                320 m2

   Gudang & WC               240 m2

    Halaman                        1.320 m2

   Pertanyaan, Buatlah diagram batang dan diagram lingkrannya.

2.  Dari catatan berat badan (dalam kg) sekelompok anak di bawah ini dilakukan penurusan:

    33, 35, 36, 34, 38, 32, 40, 34, 37, 38,

    31, 41, 34, 37, 35, 36, 39, 38, 42, 32,

    34, 35, 36, 39, 40, 32, 37, 36, 35, 34,

     37, 38, 40, 37, 43, 41.

Pertanyaan:

a. Sajikan data tersebut ke dalam daftar distribusi frekuensi.

b. Gambarkan histrogramnya

c. Gambarkan poligonnya.

III. PERHITUNGAN RERATA, MEDIAN, MODUS DAN
 SIMPANGAN BAKU

A. Menghitung rata-rata hitung

Rata-rata hitung dari n buah ukuran adalah jumlah dari semua (n buah) hasil pengukuran tersebut dibagi n. Rumus rata-rata hitung dilambangkan dengan    , adalah

                =                                                          Atau lebih sederhana

                                

                                                                                                   

  dengan  ∑ Xi yang berarti jumlah semua harga X yang ada dalam kumpulan itu.

Jika ada lima nilai ujian dari lima orang mahasiswa untuk matakuliah matematika adalah: 70, 69, 45, 80, dan 56, maka dalam symbol ditulis : X1 = 70 , X2 = 69 , X3 = 45 , X4 = 80  dan X5 = 56. Maka dengan menggunakan rumus di atas, nilai

   rata-ratanya adalah :  

   Untuk contoh di muka misalnya ada lima orang mendapat nilai 70, enam nilai 69, tiga nilai 45 , satu nilai 80 dan 1 nilai 56, maka data itu ditulis sebagai berikut:

Xi	fi	fixi
70 69 45 80 56	5 6 3 1 1	350 414 135 80 56
	16	1035

Dari tabel didapat fi  = 16 ;    ∑ xi   =   1035  ,  

sehingga: 

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, rata-ratanya dihitung dengan rumus:

                     

Contoh:  Marilah kita hitung rata-rata nilai ujian matematika untuk 80 orang mahasiswa. Untuk keperluan ini kita buat tabel berikut:

Kls Interval	fi	Xi	Fixi
40 – 47	5	43,5	217,5
48 - 55	5	51,5	257,5
56 – 63	7	59,5	416,5
64 – 71	11	67,5	742,5
72 – 79	5	75,5	377,5
80 – 87	4	83,5	334
88 - 95	3	91,5	274,5
∑	40		2620

        

 X =      = 65,5

B.  Menghitung Median (Me)

Median menentukan letak data setelah data itu disusun menurut nilainya. Apabila banyak data (n) ganjil maka median adalah nilai data yang di tengah dari urutan n buah data. Sedangkan jika n genap maka median = ½ dari jumlah dua nilai yang ditengah.

Contoh 1.

Median dari sampel data: 4  12  5  7  8  10  10. 

Setelah diurutkan menurut nilainya menjadi :  4   5   7   8   10   10   12.

Data yang berada di tengah bernilai 8.

 Jadi Me = 8

Contoh 2:

Diberikan sampel data : 12   7   8   14   16   19   10   8. Setelah disusun menurut nilainya menjadi : 7   8   8   10   12   14   16   19. Data tengah ialah 10 dan 12; sehingga Me = ½ (10 + 12) = 11.

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, mediannya dihitung dengan rumus :             

Me =  b + p {}

dengan :

b = batas bawah kelas median

p = panjang kelas interval

n = ukuran sample atau banyak data

F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda   

      kelas lebih kecil dari tanda kelasmedian.

f = frekuensi kelas median.

Contoh : Jika untuk nilai ujian 80 mahasiswa akan dihitung mediannya, dengan menggunakan daftar berikut , ditempuh hal di bawah ini:

Nilai Ujian	Frekuensi
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 - 100	1 2 5 15 25 20 12
∑	80

Dari tabel di dapat :

    b = 70,5

    P = 10

    f = 25                                 

    F = 1 + 2 + 5 + 15 = 23, sehingga             

Me = 70,5 + 10 { }              

      =  77,3

C.   Menghitung Modus (Mo)

Modus suatu kumpulan hasil ukuran adalah nilai yang pali sering muncul dalam pengamatan. Dengan perkataan lain modus adalah suatu nilai yang mempunyai frekuensi terbesar. Apabila dua frekuensi terbesar sama disebut bimodial artinya memiliki dua modus.

Contoh : Terdapat sampel dengan nilai-nilai data :

              12   34   14   34   28   34   34   28   14 . Maka frekuensi terbanyak ( f ) = 4, terjadi untuk data bernilai 34. Jadi Mo = 34.

Jika data kuantitatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, modusnya dapat ditentukan dengan rumus :

 Mo = b + p  { }               

dengan :  b  = batas bawah kelas modus

                p   =  panjang kelas interval

                b1 =  frekuensi kelas modus dikurang frekuensi 

                        kelas interval dengan tanda kelas yang lebih 

                        kecil sebelum tanda kelas modus

               b2 = frekuensi kelas modus dikurang frekuensi kelas

                      interval dengan tanda kelas yang lebih besar

                      sesudah tanda kelas modus

Contoh : Jika untuk nilai ujian 80 mahasiswa akan dihitung mediannya, dengan menggunakan daftar berikut , ditempuh hal di bawah ini:

Nilai Ujian	Frekuensi
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 - 100	1 2 5 15 25 20 12
∑	80

Dari tabel di dapat  kelas modus terletak pada kelas ke lima, jadi

b =  70,5

b1 = 25 – 15 =  10

b2 = 25 – 20 = 5

p = 10                      

Mo = 70,5 + 10 { }  = 77,17                    

D.  Menghitung Simpangan Baku

 Varians atau simpangan baku adalah merupakan ukuran-ukuran penyebartan yang paling akurat sehingga digunakan juga pada perhitungan statistika inferensial. Simpangan baku atau deviasi standar dan pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians.

   Lambang simpangan baku adalah s dan lambing varians adalah s² . Jika kita mampunyai sampel berukuran n dengan data x₁,  x₂, …  xn dan rata-rata ( x ), maka statistik s² dihitung dengan rumus :

          S² = 

             Untuk mencari simpangan baku ( s ) dari varians (s2) diambil harga akarnya yang positif. Dari rumus di atas, varians s2 dihitung  dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Hitung rata-rata ( X )

b. Tentukan selisih (x₁ – x),(x₂ – x),…(xn – x)

c. Tentukan kuadrat selisih tersebut, yakni

    (x₁ – x )² , (x₂ – x )² , … ( xn – x)²

d. Kuadrat-kuadrat tersebut dijumlahkan

e. Jumlah tersebut dibagi oleh ( n – 1 )

Contoh :
Diberikan sampel dengan data : 8 ,  7.  10,  11,  4
Untuk menentukan simpangan baku ( s ) dibuat tabel berikut:

X	X - X	( X – X)2
8 7 10 11 4	0 -1 2 3 -4	0 1 4 9 16
∑ =  40		30
X = 8

     S² =    =              

          = 7,5     

Jadi s = √7,5

       = 2,74

Jika sampel data telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka simpangan baku ( s ) dihitung dengan rumus :

           ∑ f_i ( x_i – x )²

 s² =    ---------------

               n – 1

dengan :  x_i = tanda kelas             

                f_i = frekuensi yang sesuai dengan 

                      tanda kelas xi

                n =   ∑f_i

Contoh :

Diberikan data distribusi frekuensi nilai matematika 40 orang Mahasiswa seperti dalam daftar tabel berikut:

Kelas Interval	fi	Tanda Kelas ( xi)	fixi	(xi – x)	(xi –x)2	fi (xi – x)2
53 – 59 60 – 66 67 – 73 74 – 80 81 – 87  88 – 94 95 - 101	2 7 7 11 7 4 2	56 63 70 77 84 91 98	112 441 490 847 588 364 196	-19,95 -12,95 -5,95 1,05 8,05 15,05 2,05	398,00 167,70 35,40 1,10 64,80 226,50 486,20	796 1173,9 247,8 12,1 453,6 906 972,4
	40		3038			4561,80

              =

                    = 75,95

             s2  = 

                  

                    = 

                    = 116,96

           S =

         =   10,81

E.  Latihan

   1.  Dari catatan berat badan (dalam kg) sekelompok anak di bawah ini dilakukan   penurusan:

     33, 35, 36, 34, 38, 32, 40, 34, 37, 38,

     31, 41, 34, 37, 35, 36, 39, 38, 42, 32,

     34, 35, 36, 39, 40, 32, 37, 36, 35, 34,

     37, 38, 40, 37, 43, 41.

Pertanyaan:

       1..Sajikan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi

2.  Hitung rata-rata hitung

3.  Hitung variansi

4. Hitung simpangan baku.

UNIT 6

PERMUTAS, KOMBINASI DAN PELUANG

I.  PERMUTASI, KOMBINASI

A.  Faktorial

Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n atau sebaliknya dinyatakan dengan n!. Dalam bentuk umum ditulis

    n! = n (n-1) (n-2) (n-3) … (n-k) , didefinisikan juga 0! = 1

    Contoh :

    1! = 1

    2! = 2.1 = 2

    3! = 3.2.1 = 6

   4! = 4.3.2.1 = 24

   5! = 5.4.3.2.1 = 120

   6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Dari definisi di atas dapat diturunkan sifat faktorial berikut ini:

n! = n . (n-1)!

          = n . (n-1) . (n-2)!

         = n . (n-1). (n-2) . (n-3)!

         = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) …  (n-k)!

Pembuktian sifat faktorial tersebut di atas trivial (sangat mudah) gunakan saja difinisi di atas.

Contoh :

      5! = 5.4!

          = 5.4.3!

          = 5.4.3.2!

          = 5.4.3.2.1!

          = 120

Hitunglah :

          =         =     10.9.8.7 = 5040

                 =     = 5.3.2.1 = 30

           =      =    =  10.9.6.5 = 2.700

 B. Permutasi

Permutasi adalah pengaturan atau penyusunan beberapa unsur dengan memperhatikan urutan. Contoh masalah dalam kehiduoan sehari-hari adalah pegaturan atau penyusuna kepanitiaan yang terdiri dari ketua, sekretaris dan bendahara. Jelas bahwa pada masalah tersebut urutan akan sangat mempengaruhi, sehingga urutan menjadi pertimbangan khusus.

Definisi permutasi disajikan sebagai berikut. Permutasi sekumpulan obyek/unsur adalah suatu pengaturan dengan memperhatikan urutan dari semua obyek atau sebagian. Dengan kata lain, permutasi r unsur diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur berbeda dan r ≤ n) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan.

1.  Permutas n unsur

Permutasi n unsur, adalah banyaknya cara atau susunan dari unsur-unsur itu dengan memperhatikan urutan (posisi). Dihitung dengan rumus;

   Pn = n(n-1) (n-2) (n-3) … atau Pn = n!

   Contoh :

   Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk, terdiri dari dua angka berlainan dari dua bilangan asli 5 dan 4?

Jawab;

   Bilangan yang ditanyakan terdiri dari dua angka, jadi angka pertama menyatakan puluhan dan angka kedua menyatakan satuannya. Dapat dibuat diagramnya :

           .5              4, bilangan itu = 54

 ∑  

          . 4             5, bilangan itu = 45

2.  Permutasi r unsur dari n unsur, dinotasikan dengan 

      nPr  = atau

       P (n,r) = 

Contoh :

Misalkan ada empat orang yang akan dipilih

sebagai pengurus organisasi, keempatnya

memiliki kemungkinan yang sama untuk dipilih.

Ada berapa permutasi yang bias dibentuk, jika

yang diinginkan:              

a.  Empat orang untuk menduduki jabatan ketua, wakil, sekretaris, dan bendahara

b. Tiga orang untuk menduduki jabatan ketua, sekretaris, dan bendahara

c.  Dua orang untuk menduduki jabatan ketua dan sekretaris

d.  Satu orang untuk menduduki jabatan ketua.

Penyelesaian

a.  Pn = n!

    Jadi P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

b. nPr  =  =  =     =  4.3.2.1 = 24

 c. nPr  =  =  =  =  = 4.3 = 12

 d.  nPr  =  =   =  =   = 4

3.  Permutasi n unsur yang memiliki unsur yang sama, dihitung dengan rumus:

 

           n                                         

   P             =                 

      (a , b , c, … )                           

Contoh:

 Susunlah huruf pada kata “KAWAN”, ada berapakah kemungkinan yang bias terjadi?

 Jawab:

  Misalkan huruf-huruf itu berlainan dengan memberikan indeks pada setiap huruf sehingga menjadi K A1 W A2 N, maka permutasinya ada:

                 5                                

           P                 =         = 5 . 4 . 3 = 60

              ( 1,2,1,1)                   

       

4.  Permutasi siklis atau permutasi berputar adalah permutasi yang disusun menurut suatu putaran tertentu, misalnya mengelilingi kurva tertutup sederhana.

   Rumusnya : P s( n ) = ( n – 1 )!

  Contoh:

   Misalkan ada 3 orang A,B dan C mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang berbeda jika ditinjau dari urutan tempat duduk dalam arah putaran tertentu.

   Jawab:

   P s(n) = (n-1)! = Ps(3) = (3-1)! = 2! = 2 . 1 = 2

5.  Permutasi berulang, adalah permutasi yang memperhatikan susunan dan unsur yang sama atau lebih sebagai suatu permutasi. Permutasi berulang dihitung dengan rumus

            n               

        P        =  n^k    

            K

Contoh:

Tiga macam unsur A, B, dan C dapat disusun dua-dua makan permutasi berulangnya adalah:

            n                

        P        =  n^k = 3² = 9   

            k

Latihan

1.  Hitunglah  ₆P₁ ; ₄P₄  dan ₇P₃

2.  Hitunglah permutasi 6 unsur yang diambil dari 7 unsur yang tersedia

3. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf  M,A,D,dan U

4.  Di dalam suatun kelas akan dilakukan pemilihan panitia keakraban siswa yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan bendahara. Jumlah siswa dalam kelas tersebut 30 orang. Berapa banyak susunan panitia yang mungkin terjadi

C.  Kombinasi

Kombinasi merupakan pengaturan atau penyusunan beberapa unsur tanpa memperhatikan urutan. Misalnya kita akan mengi9rimkan tim lomba cerdas cermat yang terdiri dari 3 orang. Masalah tersebut jelas tidak memperhatikan atau mempertimbangkan urutan. Jadi definisi kombinasi sekumpulan unsur adalah suatu pengaturan dari semua atau sebagian unsur dengan tidak memperhatikan urutan. Dengan kata lain, kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yangv tersedia (dengan tiap unsur berbeda dan r ≤ n) adalah susunan dari r unsur itu tanpa memperhatikan urutan.

Banyaknyua kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dinyatakan dengan nCr dan ditentukan dengan rumus

                  n                             

n C r =  C       =   

                 k 

Contoh:

Misalkan kita akan menyusun kombinasi 5 unsur A, B, C, D dan E disusun tiga-tiga. Ada berapa kombinasi yang dapat dibentuk:

Jawab:                                                                                             

 n C r   =    =       =      =    = 5 . 2 = 10       

D.  Latihan

1.  Hitunglah ₁₀C₄  dan ₂₀C₂

2.  Tentukan banyaknya kombinasi dari 5 unsur yang diambil dari 9 unsur yang tersedia

3.  Dari 4 orang bersaudara, 3 orang diantaranya diundang untuk rapat keluarga. Berapa cara ke-empat orang bersaudara tersebut dapat memenuhi undangan?

4.  Di dalam sebuah kotak berisi 7 bola putih dan 5 bola merah. Dari dalam kotak tersebut diambil dua bola secara acak sekaligus. Berapa banyak pasangan bola yang diperoleh jika

a.  terambil semua putih

b.  terambil semua merah

c.  terambil satu putih dan satu merah

II.  PELUANG

Menurut pandangan intuitif, peluang suatu peristiwa adalah angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan peristiwa itu akan terjadi. Peluang yang kecil menunjukkan kemungkinan terjadi peristiwa itu sangat kecil. Misalnya seorang peramal cuaca meramalkan bahwa kemungkinan akan terjadi hujan kurang dari 10% maka kita akan marasa tidak perlu membawa payung jika akan ke luar rumah karena kita menganggap bahwa kemungkinan akan hujan sangat kecil. Jadi salah satu manfaat mengetahui peluang suatu peristiwa adalah untuk membantu pengambilan keputusan yang tepat.

Konsep peluang berkaitan dengan percobaan atau eksperiman. Percobaan di sini didefinisikan sebagai pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbilnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi. Jadi di dalam suatu percobaan akan menghasilkan sesuatu yang tidak pasti. Artinya bahwa pwercobaan dapat dilakukan berkali-kali dalam kondisi yang sama dan memungkinkan hasil yang berbeda-beda. Berikut ini contoh percobaan dan hasilnya.

Contoh

No	Percobaan	Hasil Percobaan
1	Pengukuran waktu reaksi kimia	Lama reaksi
2	Interview petani	Penghasilan bulanan
3	Pengamatan sekumpulan hasil prosuksi	Banyak produk yang cacat
4	Pelemparan mata uang logam 1 kali	Sisi gambar atau angka

Berdasarkan contoh di atas definisi percobaan atau eksperimen adalah proses pengumpulan data tentang fenomena tertentu yang menunjukkan adanya variasi di dalam hasilnya. Sedangkan hasil percobaan didefinisikan sebagai hasil yang mungkin terjadi, jika percobaan itu dilakukan.

Setiap hasil dari suatu percobaan jika dihimpun dalam suatu himpunan  maka himpunan tersebut dinamakan ruang sampel atau ruang contoh. Ruang sampel dalam ilmu peluang biasanya dinotasikan dengan huruf S. Setiap anggota dalam ruang sampel disebut titik sampel. Ruang sampel dapat dibedakan menjadi dua jenis jika dilihat dari banyaknya anggota ruang sampel yaitu:

1.  Ruang sampel diskrit yaitu ruang sampel yang mempunyai banyak anggota berhingga

2.  Ruang sampel kontinu yaitu ruang sampel yang mempunyai banyak anggota tak berhingga.

Ruang sampel yang kita bicarakan a

Ruang sampel yang dibicarakan dalam materi ini dinyatakan dalam bentuk himpunan. Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian. Jadi kejadian merupakan kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan. Melihat difinisi kejadian, ruang sampel dan himpunan kosong juga merupakan kejadian. Hal ini akan lebih jelas dengan contoh-contoh berikut ini

Contoh:

1.  Ruang sample yang mungkin dari percobaan melempar mata uang logam adalah   { M , B }

2.  Percobaan pengukuran tinggi badan seseorang yang tingginya antara 165 cm dan 170 cm. Dari percobaan tersebut tentukan:

a.  ruang sampel dan jenis ruang sampel

b.  himpunan A jika A merupakan tinggi seseorang 167 cm dan 169 cm

c.  himpunan B jika B merupakan kejadian tinggi seseorang yang sama dengan 190 cm

Pembahasan:

Dari percobaan pengukuran tinggi badan seseorang yang tingginya antara 165

Cm dan 170 diperoleh

a.  Ruang sampel percobaan S = {x; 165 < x < 170} d mana jenis ruang sampel adalah ruang sampel kontinu karena banyak anggota ruang sampel tak berhingga yaitu semua bilangan real antara 165 sampai dengan 170

b.  Kejadian A jika disajikan dalam bentuk himpunan yaitu A = {167, 169}

c.  kejadian B dapat disajikan dalam bentuk himpunan yaitu B = {   } = Ǿ

3.  Percobaan melempar dadu satu kali. Dari percobaan tersebut tentukan:

a.  ruang sampel dan jenis ruang sampel

b.  himpunan X jika X merupakan kejadian munculnya mata dadu genap

c.  himpunan Y jika Y merupakan kejadian munculnya mata dadu kurang atau sama dengan 6

d.  himpunan Z jika Z merupakan kejadian munculnya mata dadu 7

Dari percobaan melempar dadu satu kali diperoleh

a.       Ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6} dan jenis ruang sampelnya adalah ruang sampel diskrit. Hal ini jelas karena banyak anggota ruang sampel berhingga.

b.      Kejadian X dapat disajikan dalam bentuk himpunan yaitu X = {2,4,6}

c.       Kejadian Y dapat disajikan dalam bentuk himpunan yaitu Y = {1,2,3,4,5,6}

d.      Kejadian Z dapat disajikan dalam bentuk himpunan yaitu Z = {   } = Ǿ

A.  Peluang Kejadian

Jika suatu percobaan dilakukan, biasanya perhatian kita pada kejadian-kejadian sejati dimana kejadian-kejadian tersebut bhukanlah kejadian yang pasti terjadi atau yang tidak mungkin terjadi. Persoalannya, apakah kita dapat menghitung kecenderungan terjadinya kejadian-kejadian tersebut. Untuk itu kita memerlukan alat untuk mengukurnya. Alat tersebut adalah peluang kejadian.

Misalkan suatu percobaan menghasilkan n titik sampel yangmempunyai kesempatan muncul sama dan tidak mungkin terjadi sama-sama. Kejadian A muncul sebanyak k kali maka peluang kejadian A adalah

atau ditulis dengan notasi:

     banyaknya kejadian yang dimaksud            

banyaknya kejadian yang mungkin terjadi

P(A) =  =    

dengan n(A) adalah banyaknya anggota kejadian A dan n(S) adalah banyaknya anggota ruang sampel.

Jika kita akan menghitung peluang kejadian dengan menggunakan definisi ini, maka ada tiga hal yang harus diperhatikan.

a.  Jika satu percobaan dilakukan tanpa suatu keterangan tertentu, maka dianggap bahwa setiap hasil percobaan yang mungkin mempunyai peluang yang sama.

b.  Jika suatu percobaan dengan hasil yang mungkin cukup banyak maka akan lebih mudah jika banyaknya hasil yang mungkin dari percobaan tersebut dihitung terlebih dahulu. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah pencacahan baik dengan teknik membilang, permutasi atau kombinasi.

c.  0 ≤  n(A) ≤ n dan 0 ≤ P(A) ≤ 1

Contoh 1

a.  Berapa nilai kemungkinan (peluang) munculnya ”angka” pada pelemparan sebuah mata uang logam?

     Jawab

     Mata uang akan jatuh dengan permukaan ”muka”atau ”belakang” yang di  atas. Dikatakan bahwa permukaan ”muka” itu mempunyai ”1 dari 2 kemungkinan” untuk di atas. Nilai kemungkinan (peluang) permukaan angka di atas dinyatakan dengan pecahan  dapat ditulis P(angka) =

b. Berapakah nilai kemungkinan (pelkuang) munculnya muka (sisi) dadu bermata 5 pada pelemparan sebuah dadu?

      Jawab

Dadu itu akan jatuh dengan salah satu diantara enam mata lainnya. Dikatakan bahwa sisi dengan mata 5 mempunyai ”1 dari 6 kemungkinan” untuk di atas. Nilai kemungkinan (peluang muka bermata 6 di atas dinyatakan dengan pecahan  dapat ditulis P(muka bermata 5) =

Contoh 2

Bila satu kartu ditarik dari suatu kotak bridge (berisi 52), hitunglah peluangnya bahwa kartu itu heart

Jawab:

 Jumlah yang mungkin adalah 52, 13 diantaranya heart. Jadi peluang kejadian A menarik satu kartu heart adalah P (A) 

 P(A) =       =    

Contoh 2

Pada percobaan melempar sebuah dadu satu kali, berapa peluang kejadian munculnya mata dadu ganjil?

Jawab

S = {1,2,3,4,5,6} dan A = {1,3,5}, maka

n(S) = 6 dan n(A) = 3. Jadi peluang kejadian A adalah

P(A) =    =      =

B.  Komplemen Suatu Kejadian

Dalam pelemparan sebuah dadu, peristiwa yang mungkin terjadi ialah munculnya salah satu mata 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. jadi dalam pelemparan sebuah dadu peluang munculnya mata 4 adalah P(4) = . Peluang munculnya mata bukan 4 adalah P(bukan 4) = , karena mata yang bukan 4 ada 5 (yaitu mata 1, 2, 3, 5, dan 6) maka P(bukan 4) =  .

Yang dimaksud dengan komplemen dari suatu kejadian A adalah suatu kejadian bukan A atau bukan kejadian A.

Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah beberapa keterangan berikut ini, dan jawablah beberapa pertanyaannya.

1.  Lemparkanlah sebuah mata uang logam!

a. Berapakah peluang munculnya angka?

b. Berapakah peluang munculnya bukan angka ?

c.Nyatakanlah peluang munculnya bukan angka dan peluang munculnya angka

Jawab

a.  P(angka) =

b.  P(bukan angka) = 

P(bukan angka) = 1 – P(angka)

c.  P(bukan angka) + P(angka) =  +  =  1 

2.  Lemparkan sebuah dadu

 a. Berapakah peluang muncunya mata 2 ?

 b. Berapakah peluang munculnya bukan mata 2 ?

 c. Bagaimana hubungan antara P(mata2) dan P(bukan mata 2) ?

 Jawab:

a.   P (mata 2) =

b.       P (bukan mata 2) = 5/6, karena mata dadu yang bukan 2 ada 5 (yaitu 1 , 3 , 4 , 5 dan 6)

  c. P (mata 2) + P (bukan mata 2) =               = 1

3.  Pada suatu daerah diketahui bahwa peluang seorang anak dijangkiti penyakit campak adalah 0,18. berapakah peluang seorang anak tidak dijangkiti penyakit campak?

Jawab

P(anak dijangkiti campak) = 0,18

Panak tidak dijangkiti campak) = 1 – P(anak dijangkiti campak)

                                                   = 1 – 0,18

                                                   = 0, 82

  C.  Peluang Kejadian Majemuk

Dua kejadian dapat dikenakan operasi komplemen, gabungan, dan irisan seperti pada himpunan. Jadi dua himpunan kejadian tersebut dapat dirangkai                 Menjadi satu kejadian dengan menggunakan kata perangkai gabungan atau irisan. Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut:

Dari percobaan melempar sebuah dadu satu kali, akan dilihat kejadian munculnya mata dadu genap atau prima.

Dari contoh tersebut kejadian munculnya mata dadu genap atau prima dinyatakan oleh himpunan B U C = {2,3,4,5,6} di mana banyaknya anggota adalah n(BUC) = 5. Dengan  menggunakan definisi peluang klasik, peluang kejadian tersebut adalah P(BUC) =  =

Rumus menghitung peluang gabungan dua kejadian adalah sebagai berikut. Misal A dan B adalah sebarang dua kejadian yang terdapat dalam ruang sampel, maka peluang kejadian A U B adalah

P(AU B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Contoh :

Dari hasil penelitianyang dilakukan pada suatu wilayah terhadap kepemilikan TV dan radio, diperoleh data sebagai berikut.

20% penduduk memiliki TV

40% penduduk memiliki radio

15% penduduk memiliki TV dan radio

Jika di wilayah tersebut dipilih satu orang secara acak, berapa peluang ia memiliki TV dan radio ?

Penyelesaian

Misalkan A kejadian penduduk yang terpilih memiliki TV maka P(A) = ,

B kejadian penduduk yang terpilih memiliki radio maka P(B) =  dan C kejadian penduduk yang terpilih memiliki TV dan radio mapa P(A∩B) = . Peluang penduduk yang terpilih memiliki TV atau radio dapat ditentukan sebagai berikut.

P(AU B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

                        =

Jadi peluang penduduk yang terpilih memiliki TV atau radio adalah 45%.

D.  Latihan

1. Suatu kantong berisi kelereng 1 putih, 1  hijau, 1 merah.

   a. Berapa banyak hasil percobaan yang   mungkin jika Anda mengambil satu kelereng dari kantong tersebut?

   b.  Daftar semua hasil percobaan itu

   c. Berapa peluang yang terambil kelereng 

       merah?

2.  Dua buah dadu (warna merah dan biru) dilemparkan bersama-sama sekaligus. Berapa peluang munculnya jumlah kedua mata dadu itu:

a.  bukan 3

b. bukan 6

c. lebih besar dari 6